说句老实话，网上那些好歹有数学意义的乘法计算方法，我都接受了，怎么可以产生毫无数学意义的

我实在无法接受小孩现在课本那样教娃写乘法竖式

简直是完全不鼓励娃学会多位数乘以个位数的mind-calculation.

没有多位数乘以个位数的mind-calculation，多位数除法竖式要完蛋的。。。。。。

我现在严重怀疑娃的同学们真的跟学校学会了计算吗？有多少同学小学毕业了整数计算都没搞明白？

下图是乘法好歹可以说帮助理解的的方法，好歹人家有数学意义。但上面贴的我娃课本那个竖式，我真的无法接受，等于把小孩往不懂上去拖。我娃课本的那个竖式，我怎么觉得会把小孩教蠢啊。你们怎么可以在中间过程产生没有数学意义纯属为了草稿作用的数。。。。。。。。

从

到娃课本的。

当前面一步步基础在败落的时候，就会创造出失去数学意义的方法。

数学的计算也好，理解也罢，是一块砖一块砖的累积上去的。

看似推进理解却毫无基础，结果就是创造出各种填格子方法，以及长篇大论的解释。

03/15/2023

关于PI day

学校给昨天给每个小孩带了一顶帽子写着3.14

这让我想起了以前给娃做的几张纸。

于是打印了很多份。

让娃带到学校去，请娃分给每个小孩。

当时在字典里面读到irrational number

为了小孩能够感受到无理数的神奇之处

于是做了两张彩纸打印在墙上

正好小孩提到

我们又到墙边上欣赏了一下，

所谓有理数就是可比数

所谓无理数就是不可比数

两个超级无理数分别是e和pi

pi是个可以用不断切割三角形来取得的数，

画一个内接三角形和外接正方形，可以明白为什么是3点几

既然提到无理数，我们来说说常用无理数

那么就有几个问题，

1，怎么估计无理数，这个简单，看看图猜到方法

2，为什么求了根号，不是遇到无理数就是整数，为什么不可能遇到有理数。如果是三次方根呢？如果更普遍一些呢？

3, 如果非要用整数表示根号怎么表示？（连比数）

这是以前跟娃弄着玩，我们以前买了很多旋转彩色蜡笔，画了很多东西

有些东西，我觉得还挺有思考就做成打印的，贴墙上。

我贴墙上是为了有空给娃看看美丽的无理数

以及它所引发的思考

关于两个超级无理数，我家还有两本书

A history of PI

the story of e，这是个匈牙利数学家写，他还写了本关于根号-1的科普书。

在那个帖子有人问怎么推出PI是3点几。

汗。

我画在下面。

首先圆周率的定义就是，人们发现圆的一周弧长与直径之间成正比，定义了PI=圆周/直径。

所以L=2×PI*r，这个是根据定义来。

第一个用的是两点之间直线最短。正三角形一切对称，那么画内接正三角形的高切出内接的6个小正三角形就行了。

第二个用的圆的面积公式，如果不知道可以从三角形面积公式推。如果不知道三角形面积公式，可以从正方形推。

我以前用一张纸把所有面积，周长，体积公式都推导了一边，道具贴里面应该有。

证明 PI = 任意圆的周长 / 其直径

============================

PI的标准定义直径为1的圆的一周所有弧线的长度，就是把一周的圆弧 拉成一根直线，对齐尺之后量出来的长度。

简称，直径为1的圆的周长=PI （式子1）

因为 相似图形的定义是，图形相同，大小不同的图形叫做相似图形

所以 根据圆的定义，所有的圆都相似。

又因为，任意两个相似图形的比例，他们对应的长度单位都成正比。（就是初中学的相似三角形的概念再拓展成长一样，大小不一样就行）

所以 任意圆的周长/直径为1的圆的周长=任意圆的直径/直径为1的圆的直径

结合 式子1

所以

任意圆的周长/PI =任意圆的直径 /1

所以

任意圆的周长 = 任意圆的直径 × PI

这也就是为什么 PI的定义可以衍生成 任意圆的周长 / 其直径

哎，我来说一些关于圆，PI，弧度的一些初中基本知识吧。

我没想到华人上有人问 “圆的一周弧长与直径之间成正比” pi 是常数， 是证出来的？还是个公理？。。。。。

首先， PI的定义可以衍生成 任意圆的周长 / 其直径

PI的定义 = 把直径为1的整个圆的弧拉成一根直线，对齐尺之后量出来的长度

PI本身并不具有单位，只是一个数值， PI的定义可以衍生成 任意圆的周长 / 其直径

证明见楼上

然后，圆的一圈为什么是360度。这个是认为规定，天文学有很多规律与30，60，有关，比如月亮的周期变化，每年的周期变化。当人们发现一个春夏秋冬差不多经历了365，364，366左右的白天和黑夜。古代的人们觉得太阳有一个变化，这个变化差不多是360一个周期。那个时候是日心说，所以觉得太阳绕着地球折腾一周大概是360，所以就人为的把一圈定义为360度。

再然后，弧度制。

就像刻度要有单位1长度一样，那么

如果半径为1的圆正好绕过某个角度使得弧长为1，那么这个角度就是弧度制的弧度1.

根据相似，

绕过同样的弧度1，

在半径为1的圆上对应的弧长为1，

那么在半径为r的圆上，对应的弧长就是 r*1=r。

这就是为什么弧度制中1rad广泛定义是，

当弧长等于半径，所对应的圆心角为弧度1。

也可以说， 弧度制 数值上 等于 在指半径为1的圆上绕过theta这个角度之后对应的弧长

再再然后，为什么PI=180度？

回到半径为1的圆上，

比如说绕过180度，在半径为1的圆上就绕过了半圆，正好是2*PI*1/2=PI的弧长，也是的弧度制的PI

比如说绕过360度，在半径为1的圆上就绕过了半圆，正好是2*PI*1= 2* PI的弧长，也是的弧度制的2*PI

因为有这样一个半径为1的标准圆，有因为成正比关系，

所以绕过角度制的theta，就可以通过 theta * PI/180 转化成弧度制。

再再然后，任意弧度，半径对应的弧长

因为所有的圆都相似 + 弧度制的定义，

（1种方法）

那么对

一个半径为r的圆绕过theta教对应的弧长/一个半径为1的圆绕过theta教对应的弧长 = r/1

所以，

一个半径为r的圆绕过theta教对应的弧长= 一个半径为1的圆绕过theta教对应的弧长 * r

=其弧度* r （弧度制） = theta * PI/180 *r (角度制)

（另一种方法）

或者从

弧度1的广泛定义， 弧度1 = 当弧长等于半径所对应的圆心角

弧度y=弧长中有y个半径对应的圆心角

所以 弧长=弧度y*半径r

mark一下 娃还小；但是美国到五年级还在学加法吗😅

03/28/2023

kumon G帮助下熟悉各种花式一元一次方程的好处

最近观察小P做新加坡应用题的速度，忽然发现他的速度有了质变

然后我又仔细观察了一下，发现是因为他Kumon中G做到尾声之后，

对一元一次方程怎么折腾都弄出来，

再然后他就把新加坡应用题的每句数学信息都转化成数学式子，揣摩了怎么把二元一次，三元一次，化成一元一次，

然后接出一个就行了。

我忽然意识到

美国高中生SATword problem不行的一个原因是

他们对一元一次方程没有足够熟练

如果对一元一次方程足够熟练（就是无论变型得怎么复杂，带上分数，括号）

都游刃有余，那么因为这种熟悉就会容易的get到应用，以及二元一次，三元一次怎么解。

世界上理解了，就完全熟练掌握自如应用，那个属于数学天才

分布属于0.1%的比例可能都不到

一般人对需要因为对一个东西足够熟练，

才能将自如的应用它到各种新的环境中。

对美国学生，Kumon确实是很好的补充。

当然无论Kumon还是新加坡应用题培养的都是数学基本技能

这个距离思考的灵光，还有很远很远。

这一方面系统性上交给gelfand吧。

03/29/2023

Eureka Math的整个package

小P除了做四年级数学，也做一年的数学。

一年级的老师划水，每周周一发一次收一次，一张数学一张几个单词一张阅读

从来没有发现批改过的。。。

这样对我来说，倒是节约时间

因为一周只要为学校功课花费一次的时间。

common core发展了各种方法和各种名词

比如subtract by counting up to ten

比如18-6得写成 18+2= 20， 20-6= 14， 14-2=12

书上claim这种方法算18-6比较简单，这种方法真的比较简单？！

我想18-6，顶多按照8-6+10的模式

或者硬是按照他们的方法凑成10-6+8

臣妾实在无能，想不出他们认为上面算成三步会比较简单。

要么写教材/教课在胡说八道，要么在自欺欺人，要么就是智商有问题。

鉴于此，

小P周一做算是提前做，

一年级不发书，不像四年级，

我们有时需要按照学校方法找出它claim的方法。。。。。。

针对各种教材“创新”办法，依葫芦画瓢就可以了

我于是上网去Eureka Math的整个教材的package

这才知道，这系列教材原来除了teaching version，给学生的练习原来有两套

教材本身有两个对应的练习A套是Student Classwork, Homework, and Templates

练习B套是Sprint and Fluency, Exit Ticket, and Assessment Materials

下面我贴了一张Eureka Math四年级学带余数除法的教材自带的配套练习B

如果你从来没有见过，那么你娃的学校跟我娃学校一样，直接省略掉了一套练习

本来这个教材就已经够脑残的了，

比如说，claim这种方法18-6写成 18+2= 20， 20-6= 14， 14-2=12这样算比较简单

结果学校还偷工减料。。。。。。

也罢，这样省时间给父母按照自己的pace走。

Eureka Math

包括GradePK到G8， 然后algebraI， II， 几何，precalculus

我翻了一下它的代数1，一下子刷新了我对美国课本的认识

第一次见到代数可以写得这么凌乱，浅薄，毫无连贯性。。。。。

对比之下McGraw-Hill，或是 Pearson Prentice Hall出的代数1要靠谱多了

有学校的高中用它家的代数吗？

如果有的话，建议家中购买一本正儿八经的代数

如果没有的话，问题来了，前面拉跨PreK-G8的Eureka Math跟其它教材之间有明显差距

又来请教楼主MM了，你觉得AOPS number theory 和 intro to counting and probability 两本书写得好吗？我记得你以前提到过Aops intro系列里algebra还不错，geometry太重计算轻证明了。number theory 和counting and probability你有什么推荐适合喜欢数学的娃用的教材吗？谢谢！