我们学区今天有个四年级的数学公开课，放在网上给大家看。一个女孩的草稿写着，第一行 9*10=90， 第二行 9*8=17， 第三行2个相加，9*18=107。。。。。。。。。。。。。

common core最大的问题是对下不对上

前几天华人有个帖子，抱怨四年级学校让学生算49-7，让学生一个个减。

然后很多人都说这样教没有问题，common core加重理解。

但问题出在，后面就要交18×9了，学生不具备8×9=72的能力（前面教的还在从加减上理解乘除）

人脑就像电脑的CPU和memory，用去了一个个加去计算8×9，9+9=18， 9+9+9=27。。。。。

怎么可能还有空闲CPU和memory去算原题了。

这个就是整个common core设计问题，整个设计不是为了上一步要学习什么而准备现在的技能，

而是想着怎么像下面靠近，理解就可以了。

问题是理解了，就等于能够用了吗？或者说熟练到能够在下一步的学习中用了吗？

学校教育其实在掩饰一个，人在数学上学习的理解力，运用能力，熟练力，是有不一样的，（比例随便写的）

10%的人或者可能达到这种，理解了之后，立马熟练了

80%的人是需要练习之后，去加深了理解，

10%的人是需要多加练习，才能真的的学会这个技能

话说回来，对于家长偷懒的学生，其实IXL是很好的学校的教育补充——虽然它的题目枯燥，随机产生。但是好歹能够达到熟练度。

common core是设计给足够聪明的人——有人能够在这个系统里面直接达到熟练，融会贯通。这样的学生用任何一个初等数学教育系统都没有问题。

common core看似为了小孩加深理解，用了最“浅显”的解释，但是它没有考虑小孩思维，理解力的一步步跃迁的培养，这个东西已经教了之后，后面就用到它，然后在不断用中熟练和理解。例如乘除法，四年级不能让学生再用加减去求乘除的答案了。直接会导致学生最后变成只会代公式，按计算器机器人。

common core的看似把理解讲透了，觉得理解透了，人人就会了。

怎么可能? 再怎么理解乘除，不会算还是没有用。不知道这些小孩到了5年纪怎么算2978/59这种四位数除以两位数的。或者他们就省略了？

（这样说来Beestar的练习纸还比他们好一些，好歹人家基本计算要求是有的）

物理系的大学生看到老师2x+5=9 ==》 2x =4 ==》 x=2

学生不能理解，非得老师写成 2x+5=9 ==》 2x+5-5=9-5==》 2x =4 ==》 2x/2 =4/2 ==》x=2

教授可以写成学生能理解的，没有问题

问题出在这个反应了，学生背后自己的理解力的缺陷。

很遗憾，他们自己无法理解，还得老师把所有步骤写全了才能理解。

这么简单的东西，学生都无法自己理解。其他就只剩下照本宣科了，按计算器了。

TI-84 Plus在美国销量这么好。

Common core的数学看似是为了每一个人理解

恰恰是它整个设计上，没有考虑思维跃迁，放弃了一般学生思维跃迁，理解后运用能力的培养。

其实它恰恰放弃了单纯依赖学校教育的小孩的数学学习。

昨天小P做一道AMC8的题目关于价格的题目。原来180，减少了50%，周末又减少了20%，问周末价格多少。

然后小P写 180 - 50%

我说，不是，减少了几分之几/百分之几，增加了几分之几/百分之几，

其实题目是说， 减少了（此时价格的）几分之几/百分之几，增加了（此时价格的）几分之几/百分之几，

只是涉及到分数/百分数的时候，此时价格的，

单读到的时候要自己脑中添上去。

然后小P就写

180 -180 × 50%

然后我就说，你不要去习惯写加减法，在考虑分数/百分数整体变化的时候

你尽量去写乘法 180×（1-50%）

他好像是会了，然后用这个trick做出这题。

这题本身很简单，但是让我想到一个大学生的错误，每次大学生算saving的时候，告诉原来的钱m，年利息 r

总有学生把 m（1+r）算成 m + r 然后算错答案。

这是一个很普遍的错误，无论金融系的教授课上强调多少次，

反正每次考试总会有人这样错。

当然教授只会跟学生说，哎呀，你粗心啊，小心一点，下次就可以考好了。

学生也觉得，啊呀，我怎么粗心那。

其实本质上反应的是，

学生对于乘除，分数，百分数，应用到实际中没有那么熟悉，

（这个就是common core到了四年级还在用加减算乘除造成的——不知道五年级还是不是）

选择题，要想象也会觉得那个微小利息不可能啊，就有些学生没有这种sense

当小P问我为什么要用乘，他更喜欢写成加额度形势的时候，

我才意识到，我以后应该多让他写成乘法混合运算形式

这样以后让他对能够乘法，百分数，分数的应用更加直接一些。

理解了乘除，就应该直接应用乘除 （这样才会在乘法应用的题目）

理解了指数，就应该直接应用指数（这样才会想到指数应用的题目）

我们村不用common core. 但是思路是一样的，用加减来理解乘除，表面上是简化了乘除的理解，其实是弱化的对乘除的理解。连基本的乘除都无法正确理解，数学往下教（初中开始）就是一塌糊涂，越来越难。一条道走到黑。。。。

2978/59 这个我知道学校的教学思路， 就是 59*10=590， 然后2978-590-590-590.。。。。。， 减一个590=10， 减了3个590=10+10+10=30，减到后来再-59-59 etc, 这个减到最后 R= X. 说到底，还是减法占用了所有的CPU和memory, 结果就是不理解除法的意义

这个问题“2x+5=9 ==》 2x+5-5=9-4==》 2x =4 ==》 2x/2 =4/2 ==》x=2” ， 我娃也有，这种是不是只能在家刷题才能建立 2x+5=9 ==》 2x =4 ==》 x=2？

回复 124楼的帖子

不是的

我用几何来说明为什么

三角形全等的定义

两个三角形，如果三个边相等的，那么这两个三角形全等

再后面可以证一个定理

两个三角形，如果两边及其夹角相等，那么这两个三角形就全等

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如果接受了边角边就可以证明三角形全等，那么就不需要在每次从 三个边 是不是都相等 来证 全等。

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这个是任何数学的逻辑基石，而人脑其实除了理解之外，也会接受和储蓄已经接受定理，性质，引理等等

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等号的定义确实是规定了两边同时加减乘除一个数，等号还成立

但是这个定义要推出和理解 移项 变号 的性质并不难

（这个性质不在 common core 之内）

但是理解了一个性质，就应该自由用一个性质去进一步推导自己的知识体系向前

而不是墨守成规每次都得回到的定义去做。

类似于如果每次都要回到 每个几何形制都会到最原始的定义和公理去证明的话

平面几何就不要学了

代数也是，当知道一个性质，如果确定是理解了，就应该用

而不是接受步骤怎么做

接受步骤的方法学代数，就成了机器人学法了

一元二次方程的问题更严重，不过美国已经简化得几乎只有基础了

实际上韦达定理跟与系数的关系，二次曲线中心轴，与xy轴的交点，中心轴，顶点，

它们不仅仅是公式和步骤，

它们是自由的，要用哪个就要随手拈来。

数学一定要强调自由的去找到答案，就是怎么省事怎么来，并且累积自己对知识点的认知一点点去拓展。

从等号的两边同时加减，==≥ 移项

只是一步的联想，连这步的联想都不能构建

那么代数学起来就是累积知识点了。那个就少了很多趣味，而且费力。

而且当技术学，和当艺术学是不一样的。

数学需要的是自由，是自己理解的融会贯通，也是在自己在了解，总结之后的应用能力

移项，讲一下这个性质，学生一听都明白

但是他们却缺乏联想力，能够之后直接应用起来

一个数学系的老教授问什么教2steps解简单的一次方程（他不教本科很多很多年）

我写给他看，他目瞪口呆，说，解方程不就是求解，不应该怎么方便怎么来

怎么这么简单的问题还写好两步，让学生填了，又不是编程（他们以前小时候不是这样学的，他们以前平面几何还是要写证明的。）

哎，美国现在的数学教育恰恰是编程式教育。

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让小孩full understand一个性质之后就去用这个性质。怎么快，好，准的，求出解就行了

学会总结，也学会应用“自己的发现”（你觉得有啥trick就将给娃听，帮他把学校缺的性质部分补上，并鼓励娃在家直接用性质求解。我基本是娃做完了，我看的时候，有更简单的办法就会讲给他听，也会从性质上总结一下，慢慢的他就会用。不能我们理解他的做法就结束了，你有什么trick都讲出来）

当然交作业还是按老师说的方式写。

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你娃应该只是这样写，如果老师写成移项（其实是跳了一步）他也能理解

但大学惊诧的是，有学生因为老师这里跳了一步移项了，就无法理解。

前者只是习惯，问题不大（潜移默化，每次有什么trick多讲讲，开拓思路,培养总结，应用能力就行）

后者是理解力，联想力都不太行，后者学理科累，学工科还行。

就是小学跳过了一步移项， 就无法理解。 因为 学校只教到同加同减这一步， “2x+5=9 ==》 2x+5-5=9-4==》 2x =4， 学校没有教，把5移到等号右边，变成-5. 类似于弱化了对等号的理解。聪明一些的孩子，你跟他讲一下，他能勉强（马上）明白这个浅显的道理。但是反应不太快的孩子，这个就是更跟学校里学到的不一样，从来没有接触过的，完全不明白的东西。

另外我还有一个问题请教， 我们这有华人补习班，根据国内的补习班的方法，让孩子提前做类似分数和小数的混合四则运算题目，意思是给孩子打坚实基础，这种3

回复 126楼的帖子

这个意义在于把所有的运算都混合起来，达到运算的自由

美国对运算的认识是孤立的即使四则混合运算也是稍微混一下（参见beestar 67年纪的练习纸）

也就是练习a的时候，已经通知脑中调用a

也就是练习b的时候，脑中调用b

当它们都混在一起的时候，脑中需要在abcdefg里面自己随即调用需要的那个

这样才能达到计算的自由。

（比如上次post那个YouTube上两分数相加，下面老美很多评论说，谢谢你，我都忘了这个怎么算了。

其实他们就是一个个当孤立知识点学的，然后学到这个，告诉这个就用这个步骤，然后调用这个步骤

等时间长了，自然忘记了。这个其实不是理不理解的问题，而是对知识的自由驾驭程度

但是你抓华人上任何一个人高中毕业的来不会忘记两分数怎么相加的，因为他们经过了综合运用中自我调动的培训，就是转化为自己的了）

顺便说一下，

这个也是checklist学数学的弊端

而打破弊端最好的办法，就是综合运用一锅炖，然后脑中自我选择调用知识

2023/02/07

Eureka Math Book 3, Lesson 1-8 多位数 除以 个位数

我觉得每天都要撕课本练习纸做题，每天都有一个set up cost

干脆跟儿子商量，周一把一周要做的都做了（基本上一周他们讲4个lesson）

然后等老师要交作业了，要交那个就拿那个给老师。

终于把common core的除法方法approch给弄全了

一开始画分隔

然后进化到画圈圈

然后进化到画Box

最后进化到终于学会多位数除以一位数，列竖式了。。。。。。。。

这是加深理解吗？

零零总总加起来一个月的数学课的时间就学会了做多位数除以1位数。

这个网站上看到了Eureka Math对应1-5年级讲什总结

https://www.slinger.k12.wi.us/families/elementaryacademicresources.cfm

按照这个大纲的话，陆陆续续加起来一个月“循序渐进”去理解了多位数除以一位数 为什么可以列竖式。

然后到了5年级在延展到多位数除以多位数，带小数的除以1位数。。。。。

真真是上课纯属练画画，连基本计算能力的没有得到练习。

我现在跟小孩说，你乘除先自己算一个结果，

然后再去作业要画什么就画什么，学校教育真是的是纯属在打发时间。

计算一定不能跟着学校的套路走，不就是算个结果，应该用自己最快最熟悉的去得到答案。

学校那个是去教怎么玩，画圈圈，或者怎么表达的。反正不是教数学。

2023/02/07 Common Core的数学进度

按照这个Common cored的这个进度，完全不可能5年纪完成对算术计算的完全掌握啊

于是我查了一下common core的数学进度。

https://www.wolframalpha.com/examples/mathematics/common-core-math

结果见识了一下什么叫做一万mile长，1inch深

6年纪才有了除以一个分数，完成小数的计算，同时引入带分数的简单方程，比例，百分比，统计数频率的一些东西

7年纪完成各种数的四则混合运算，加入一次代数计算，比例，百分数，概率也来了的

8年纪，分数小数互相化，同时有了数轴，指数，无理数， 一次函数，一些统计

哪个脑残的搞出这种东西来的的？！！！！！！！！！！！！

也就是按照common core到8年纪才所有数的计算都完全整明白

同时在没有整明白的时候，把各种东西都加了进来。。。。。。。

我决定按照正常数学系统进程来让娃学习了。

把数的认识都弄好了之后，

再认识方程（一次），

然后在认识函数（一次）。

如果对比中国和美国的数学进程大纲，看似美国大纲里面该提到的内容都提到了

但是在计算都没有弄好的基础之上，美国的大纲在algebra之间的数学教育

属于是因为计算没有搞定，所以后面介绍只能蜻蜓点水，意思一下了。