两个技能是不一样

1，不懂画图，只能靠desmos画图

2， 能手动画图，用desmos更方便

我对自己能够动手画图能力很注重。读博士时，做TA。意外发现，有学生不能自己画对直线。老板的trick是，直接让学生找两点，2x+3y=6,最简单两个点就是分别令x，y=0得到（0,2），(3,0)。然后考试，我做TA改试卷，有学生不会画类似x=8，y=6这种直线。于是我就帮老板改了上课的note，写清楚三种情况，case1， x，y前面系数都不为0怎么找两个点。case2， x前面系数为0，怎么找两个点；case3， y前面系数为0，怎么找两个点。有了123，那么至少用功的学生都会了。这个现象并不是少数现象，基本上教过本科生的教授都会遇到。每个班总是有几个人期中考试出错。当然如果让学生用软件画，那么他们的成绩会立马好看了。

本科生教课，可以跟学生说用软件画出来，或者note写清楚去推进后面的进程。但这个折射的问题是，有大学生不会自己手画x=6（不是不小心，不是不注意，不是不认真，是真的不会）。反过来说明，学生中学对一元一次函数的理解实际上是空中楼阁，非常非常脆弱，缥缈的。

所以我家小孩在学完算数计算之后，一开始我就清晰知道，要培养他的代数感，培养他手动画图+自己写解析的能力。

为此我重新对kumon的GHIJK进行了排序，

1.把解方程的路线及其应用题拎出来（G，H中理出来的）

2. 把画图成长的学习路径拎出来 （H，I，J的部分，然后进入K）

3. 把代数式自由变幻，包括乘，除，因式分解，展开理出来（I，J）

（顺便说一下，我发现要把Kumon的几何部分也理出来一下，美国学校几何教学着重计算，正好kumon中也包括了。等明年暑假吧）

经过了漫长2年的时间，娃终于对画图达到了自由，内心喜欢了推导各种代数公式。终于可以他在kumon，做完自己对答案。我楼上睡觉了。

我可以感受到他内心的喜悦，比如说他曾经很喜欢勾股定理，遇到一对勾股数，还自己找个小本本记录下来，还记录什么母组，什么是衍生的。现在他又喜欢上了自己推导出的各种代数公式，也用找了个本子记录下来。但他又常常因为喜欢看看，不放回原地，导致丢失了，然后黯然伤神。后来终于学会了拿的哪里的，要放回哪里。。。。。。我做的就是买各种笔记本，你想记就记嘛。丢了反正我不帮你找，我只负责买买买提供原材料。

（这倒提醒了我，因为怂恿他找个本子把他读过的小说名字都记下来。。。。）

（又想到要买那种graph小本本，这样子可以把各种好玩的图记录下来。而且他喜欢什么也可以在graph小本本上打草稿，然后就可以根据手工画的图来写出函数。 天啊，我又要去买本子了，我简直每月都在不断买本子的路上。我准备买那种grid的notebook，然后让娃在上面画。然后他刷天天练的时候，我就在旁边代数化他的鬼画符。只要他能画出来，我就能在desmos上函数化，这个应该比打消消乐有意思——我的淘宝消消乐已经达到4400多级了。。。。。。）

这个时候desmos出现了，达到了他用代数实现和描绘世界的能力。

而我对于代数部分终于可以稍微解脱，只要把他扔给kumon，让他把KJMNOXV的部分做完的，他的解析能力就达到可以看懂高考数学题解析题的解法地步。

之后，从他可以看懂到他能够把初等数学知识都融会贯通是，是等他做完kumon我要思考的问题。我先不头疼这个问题。估计还需要3年时间。

现在Kumon已经扔给小孩自己慢慢推进，我睡觉了。我主要思考放在一步步理顺几何内容的方面——平面解析解析有Kumon M这个不用担心，那么就剩下平面几何，立体几何。

我家平面几何是跟着国内一个叫做天天练APP上的，初中部分。主要是暑假我偷了一个懒，让老公跟娃组成学渣联盟，等开学一看，这两人纯属敷衍任务。

老公都不知道教娃自己用尺画图，跟着做笔记，也不知道看错题分析，我@#R#$#$@#@%。好吧，人家是文科生，我们不能强求，只能我上了。

我每天回家抽出半小时陪娃看天天练，然后教娃跟着动画后面做笔记，然后让他一步步做。好在几何有个好处，就是它的知识本身就是一个体系，到了后面的证明时候，前面的知识会不断的重复和应用。

经过强颜欢笑的2个月，我终于达到了只要提供人形道具，在旁边玩消消乐游戏的地步。什么时候达到，我在楼上睡觉，他自己跟着天天练后面学，我就解放了。路漫漫兮。。。。。。

Desmos还有几何部分，娃有时会想把自己证明过的结论，在Desmos上拉拉，比如任意四边形的中点连线构成的四边形是平行四边形。真正对几何的解放，这个要用到vector，也就是kumon的XV。

我娃是个普通娃。我希望他对理科的理解是，你知道一个式子，那么可以知道它的来龙去脉，可以想到，想改变什么，那么怎么式子怎么变化。而不是，教的，跟着做会了。稍微要自己思考一些的，稍微变变，就进行不下去了。